[2027 세무사1차시험 준비 – 재정학 – START 기초재정학 – 02 경제학 기초수학]

개념설명

1. 변수와 함수는 경제관계를 식으로 옮기는 언어입니다

변수는 여러 값을 가질 수 있는 기호입니다. 가격 P와 수량 Q처럼 쓰며, 단위가 원인지 만원인지 반드시 확인합니다. 함수는 한 변수의 값이 정해지면 다른 변수의 값이 일정한 규칙으로 정해지는 관계입니다. Qd=100-2P는 가격 P가 주어질 때 수요량 Qd가 결정된다는 뜻입니다. P가 10이면 Qd=100-20=80이고, P가 20이면 Qd=60입니다. 가격이 1 오를 때 수요량은 2 감소합니다.

일차함수 y=a+bx에서 a는 x=0일 때의 절편이고 b는 기울기입니다. 기울기는 Δy/Δx, 즉 x의 변화량에 대한 y의 변화량입니다. Qd=100-2P를 Q를 세로축에 그리면 P에 대한 Q의 기울기는 -2입니다. 경제학 그래프는 관행상 가격 P를 세로축, 수량 Q를 가로축에 놓는 경우가 많으므로 역수요함수 P=50-0.5Q로 바꾸면 그래프 기울기는 -0.5입니다. 같은 관계를 표현해도 어느 변수를 세로축에 놓았는지에 따라 숫자가 달라집니다.

2. 연립방정식은 두 조건을 동시에 만족하는 값을 찾습니다

연립방정식은 둘 이상의 식을 동시에 만족하는 미지수를 구하는 방법입니다. 수요 Qd=100-2P와 공급 Qs=10+P가 있을 때 시장균형에서는 Qd=Qs입니다. 따라서 100-2P=10+P, 90=3P, P=30입니다. P=30을 어느 식에 대입해도 Q=40이 나옵니다. 수요식에서는 100-60=40, 공급식에서는 10+30=40이므로 두 식에 모두 대입하여 검산할 수 있습니다.

식을 이항할 때 부호를 바꾸고, 가격을 구한 뒤 수량을 빠뜨리지 않습니다. 또한 경제적으로 가능한 해인지 확인합니다. 가격이나 수량이 음수로 나온다면 계산 오류인지, 함수가 유효한 구간 밖인지 살펴야 합니다. 조세 문제가 나오면 소비자가 내는 가격과 생산자가 받는 가격이 달라질 수 있으므로 하나의 P를 무조건 두 식에 넣지 말고 두 가격의 관계식까지 함께 세웁니다.

3. 미분은 아주 작은 변화에 대한 변화율이며 한계량을 구합니다

미분은 독립변수가 아주 조금 변할 때 함수값이 얼마나 변하는지를 측정합니다. 함수 f(x)의 도함수는 f'(x) 또는 df/dx로 씁니다. 재정학에서는 총비용 C(Q)를 수량 Q로 미분하여 한계비용 MC=C'(Q)를, 총편익 B(Q)를 미분하여 한계편익 MB=B'(Q)를 구합니다. 예를 들어 C(Q)=100+4Q+Q²이면 고정비용 100의 미분은 0, 4Q의 미분은 4, Q²의 미분은 2Q이므로 MC=4+2Q입니다.

편미분은 함수가 여러 독립변수를 가질 때 나머지 변수를 고정하고 한 변수만 변화시키는 미분입니다. 효용 U(x,y)=xy라면 y를 고정하고 x로 편미분한 한계효용은 ∂U/∂x=y이고, x를 고정하고 y로 편미분하면 ∂U/∂y=x입니다. ‘다른 조건이 같다’는 경제학의 분석 방식이 수학적으로 편미분에 반영됩니다.

4. 최적화의 1계조건은 기울기가 0인 후보를 찾습니다

최적화는 목적함수를 가장 크게 하거나 가장 작게 하는 선택을 찾는 일입니다. 제약이 없는 미분 가능한 내부해에서 최대화의 1계조건은 목적함수의 1차 미분이 0이라는 조건입니다. 순편익 NB(Q)=B(Q)-C(Q)를 최대화하면 NB'(Q)=MB-MC=0, 즉 MB=MC가 됩니다. 교차점 왼쪽에서 MB>MC이면 한 단위를 더 할 때 순편익이 늘고, 오른쪽에서 MB<MC이면 늘릴수록 순편익이 줄기 때문입니다.

1계조건은 후보를 찾는 조건이지 언제나 최대를 보장하는 충분조건은 아닙니다. 두 번째 미분이 음수이면 목적함수가 그 지점에서 아래로 굽어 최대일 가능성을 확인할 수 있습니다. 선택 가능한 범위의 끝에 최적점이 있는 경계해나 미분할 수 없는 점도 있으므로 문제의 정의역과 제약을 확인해야 합니다. 효용극대화처럼 예산제약이 있으면 제약식과 함께 풀어야 하며, 단순히 효용함수의 각 편미분을 0으로 놓는 방식으로는 일반적인 해를 구할 수 없습니다.

5. 점탄력성은 미분값에 현재의 가격·수량 비율을 곱합니다

수요함수 Q=Q(P)의 점가격탄력성은 통상 ε=-(dQ/dP)×(P/Q), 또는 |dQ/dP×P/Q|로 표시합니다. dQ/dP는 가격이 한 단위 변할 때 수량이 얼마나 변하는지 나타내지만 단위에 좌우됩니다. 여기에 P/Q를 곱하면 퍼센트 변화의 비율이 되어 단위가 사라지고, 수요의 가격탄력성은 음의 부호를 붙이거나 절댓값을 취해 0 이상의 크기로 나타냅니다. Q=100-2P에서 P=20이면 Q=60이고 dQ/dP=-2이므로 변화율의 부호 포함 비율은 -2/3, 수요의 가격탄력성은 2/3입니다. 1보다 작아 그 점에서는 비탄력적입니다.

두 점 사이의 변화에는 중점법을 사용할 수 있습니다. 수량 변화율의 분모를 두 수량의 평균으로, 가격 변화율의 분모를 두 가격의 평균으로 둡니다. 어느 방향에서 계산해도 같은 크기가 나오게 하기 위한 방법입니다. 문제에서 점탄력성을 요구하면 미분식, 변화 전 기준을 요구하면 최초 값, 중점법을 요구하면 평균값을 사용합니다.

6. 적분은 작은 한계량을 합쳐 총량이나 면적을 구합니다

부정적분은 미분하면 원래 함수가 되는 원시함수를 찾는 것입니다. ∫axⁿdx=a×xⁿ⁺¹/(n+1)+C로 계산하며 n은 -1이 아니어야 합니다. 적분상수 C는 미분하면 0이 되는 상수입니다. 정적분은 구간의 누적값을 구하며 원시함수 F를 이용해 ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)-F(a)로 계산합니다.

역수요함수와 가격선 사이의 소비자잉여, 가격선과 역공급함수 사이의 생산자잉여처럼 곡선 아래 면적을 구할 때 적분이 쓰입니다. 예를 들어 한계편익 MB(Q)=20-Q를 0부터 8까지 합치면 총편익의 증가분은 ∫₀⁸(20-Q)dQ=[20Q-Q²/2]₀⁸=160-32=128입니다. 한계량을 적분하여 총량을 복원할 때 초기 고정값이 있으면 별도로 더해야 합니다.

7. 현재가치는 서로 다른 시점의 금액을 같은 시점으로 바꿉니다

오늘의 100만원은 투자하여 수익을 얻을 수 있으므로 1년 뒤의 100만원과 경제적 가치가 같지 않습니다. 연 할인율이 r이고 t년 뒤 금액이 FV라면 현재가치는 PV=FV/(1+r)ᵗ입니다. 할인은 미래 금액을 현재로 가져오는 과정이고, 복리는 현재 금액을 미래로 보내는 과정입니다. 연 10%에서 1년 뒤 110만원의 현재가치는 110/1.1=100만원입니다.

여러 해에 금액이 발생하면 각 시점별로 할인한 뒤 합합니다. 1년 뒤 110만원과 2년 뒤 121만원을 연 10%로 할인하면 110/1.1+121/1.1²=100+100=200만원입니다. 할인율 5%를 식에 5로 넣지 않고 0.05로 넣으며, 기간과 할인율의 단위를 맞춥니다. 연 할인율에 월수를 그대로 지수로 쓰는 식의 단위 오류를 피해야 합니다. 공공사업의 비용·편익도 발생 시점이 다르면 현재가치로 환산한 뒤 비교합니다.