[2027 세무사1차시험 준비 – 재정학 – START 기초재정학 – 02 경제학 기초수학]

개념설명

1. 변수·함수·일차함수와 기울기

변수(variable)는 값이 달라질 수 있는 기호이고, 함수(function)는 독립변수의 값이 주어질 때 종속변수의 값이 하나로 정해지는 관계입니다. 재정학에서 Qd=100-2P는 가격 P가 주어지면 수요량 Qd가 정해지는 수요함수입니다. 식을 Qd에 관해 썼다고 해서 그래프의 세로축도 Q여야 하는 것은 아닙니다. 경제학 그래프는 관행적으로 가격 P를 세로축, 수량 Q를 가로축에 놓으므로 P=50-0.5Q로 역함수를 만든 뒤 그립니다.

일차함수 y=a+bx에서 a는 x=0일 때의 절편이고 b=Δy/Δx는 기울기입니다. Qd=100-2P의 dQ/dP=-2는 가격 1단위 상승에 수요량이 2단위 감소한다는 뜻입니다. 역수요함수 P=50-0.5Q의 dP/dQ=-0.5와 수치가 다르지만 같은 직선을 다른 변수에 관해 표현한 것입니다. 기울기와 탄력성도 구분합니다. 기울기는 단위에 따라 달라지지만 탄력성은 변화율의 비율이라 단위가 없습니다.

2. 연립방정식과 시장균형

연립방정식은 둘 이상의 조건을 동시에 만족하는 미지수를 찾는 식의 묶음입니다. 시장균형에서는 Qd=Qs라는 조건을 추가합니다. Qd=100-2P, Qs=10+P이면 100-2P=10+P, 90=3P, P*=30이고 어느 함수에 대입해도 Q*=40입니다. 검산은 수요함수와 공급함수에 각각 대입해 두 수량이 모두 40인지 확인하는 것입니다.

종량세 t가 생산자에게 부과되면 소비자가격 Pc와 생산자수취가격 Pp 사이에 Pc-Pp=t가 성립합니다. 수요에는 Pc, 공급에는 Pp를 넣고 Qd(Pc)=Qs(Pp), Pc=Pp+t를 함께 풉니다. 법적으로 생산자에게 부과되었다고 Pc가 그대로인 것은 아닙니다. 세전가격과 비교해 Pc 상승분은 소비자 부담, Pp 하락분은 생산자 부담입니다. 식을 세울 때 가격 하나로 합쳐 버리면 귀착을 계산할 수 없습니다.

3. 미분·편미분과 한계량

미분은 독립변수가 아주 조금 변할 때 함수값이 얼마나 변하는지를 나타내는 순간변화율입니다. y=f(x)의 도함수는 f'(x)=dy/dx입니다. xⁿ의 도함수는 nx^n-1, 상수의 도함수는 0입니다. TB(Q)=100Q-Q²이면 MB(Q)=dTB/dQ=100-2Q입니다. TC(Q)=20Q+100이면 MC(Q)=20입니다. 고정비 100은 Q가 변해도 달라지지 않아 한계비용에 들어가지 않습니다.

편미분은 여러 독립변수 중 하나만 변화시키고 나머지는 고정한 변화율입니다. 효용함수 U(x,y)=x^1/2y^1/2에서 x의 한계효용 MUx=∂U/∂x=(1/2)x^-1/2y^1/2입니다. 이때 y를 상수처럼 취급합니다. 한계대체율처럼 두 한계량의 비율을 만들 때 아래첨자의 순서와 축 정의를 먼저 확인해야 합니다.

시험 판정: 총량의 수준과 한계량, 고정비와 한계비용, dQ/dP와 dP/dQ를 뒤섞지 않습니다. 문제에서 ‘Q 한 단위 증가에 따른 비용 변화’를 물으면 dTC/dQ를 구합니다. ‘가격 한 단위 변화에 따른 수요량 변화’를 물으면 dQ/dP입니다.

4. 최적화의 1계조건과 2계조건

최적화는 주어진 제약 아래 목적함수를 최대 또는 최소로 만드는 값을 찾는 과정입니다. 제약 없는 1변수 최대화에서 내부해가 존재하면 목적함수 F(Q)의 1계조건 F'(Q)=0을 사용합니다. 그러나 F'(Q)=0은 최대·최소·변곡점 후보를 모두 포함할 수 있으므로 충분조건이 아닙니다. 최대이면 F”(Q)<0, 최소이면 F”(Q)>0인지 확인합니다.

순편익 NB(Q)=TB(Q)-TC(Q)를 최대화하면 NB'(Q)=MB(Q)-MC(Q)=0, 즉 MB=MC가 1계조건입니다. 위 식에서 NB(Q)=80Q-Q²-100이므로 NB’=80-2Q=0에서 Q=40, NB”=-2<0이므로 최대입니다. 경계조건 Q≥0이 있으면 내부 후보뿐 아니라 Q=0 같은 경계값도 비교해야 합니다.

효용극대화나 비용최소화처럼 제약식이 있는 문제는 예산제약을 대입하거나 라그랑주 승수를 사용합니다. 이 기초단원에서는 ‘목적함수-제약-1계조건-2계조건·경계 검토’의 순서를 익힙니다. 단순히 도함수를 0으로 놓고 끝내는 선지는 불완전합니다.

5. 점탄력성 계산

함수 Q=Q(P)의 점가격탄력성은 원자료의 기울기 dQ/dP에 현재의 P/Q를 곱합니다. 이 글에서는 수요의 가격탄력성 크기를 η_d=-(dQ/dP)(P/Q)로 정의합니다. Q=100-2P에서 P=20이면 Q=60, dQ/dP=-2이므로 η_d=-(-2)(20/60)=2/3입니다. 기울기 -2만 보고 탄력적이라고 판단하면 안 됩니다. 같은 직선에서도 P/Q가 달라져 점탄력성이 달라집니다.

세수함수 T(Y)에서 세수탄력성은 ε_TY=(dT/dY)(Y/T)입니다. T=-300+0.3Y, Y=1,500이면 T=150, 한계세율 dT/dY=0.3, 평균세율 T/Y=0.1, 세수탄력성은 0.3×1,500/150=3입니다. 한계세율과 평균세율의 비율도 0.3/0.1=3으로 같습니다. 절편이 음수인 식에서는 소득이 증가할수록 평균세율이 한계세율에 가까워져 누진적 구조가 나타납니다.

6. 적분과 잉여 면적

적분은 작은 한계량을 연속적으로 합쳐 총량을 구하는 연산입니다. 한계편익 MB(Q)를 0부터 Q*까지 적분하면 그 수량까지의 총편익이 되고, 한계비용 MC(Q)을 적분하면 변동비가 됩니다. ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C를 사용합니다. MB=100-2Q, MC=20이고 Q*=40이면 총순편익은 ∫₀⁴⁰(80-2Q)dQ=[80Q-Q²]₀⁴⁰=1,600입니다.

직선 그래프에서는 같은 값을 삼각형 면적으로 검산할 수 있습니다. 높이는 Q=0에서 MB-MC=80, 밑변은 40이므로 1/2×80×40=1,600입니다. 적분상수 C는 정적분의 위아래 값을 빼면 소거됩니다. 다만 총비용에는 고정비가 있을 수 있으므로 MC 적분만으로 총비용을 구할 때는 TC(0)를 더해야 합니다.

7. 현재가치와 할인율

현재가치(present value)는 미래의 금액을 현재 시점의 가치로 환산한 값입니다. 연 할인율이 r이고 n년 뒤 금액이 FV라면 PV=FV/(1+r)ⁿ입니다. 2년 뒤 121만 원을 할인율 10%로 평가하면 121/(1.1)²=100만 원입니다. 반대로 현재금액을 미래가치로 바꾸면 FV=PV(1+r)ⁿ입니다.

공공사업의 순현재가치는 NPV=Σ(B_t-C_t)/(1+r)^t입니다. 다른 조건이 같으면 할인율이 높을수록 먼 미래의 편익 현재가치가 더 크게 감소합니다. 현금흐름의 시점 t=0은 할인하지 않고, t=1부터 할인합니다. 명목 현금흐름에는 명목 할인율, 실질 현금흐름에는 실질 할인율을 일관되게 써야 합니다.

시험 함정: (1+r)ⁿ을 곱하면 미래가치, 나누면 현재가치입니다. 할인율 10%를 10으로 넣지 않고 0.10으로 넣습니다. 여러 시점의 금액은 각 시점별로 따로 할인한 뒤 더합니다.

8. 계산형 문제를 푸는 고정 순서

계산을 시작하기 전에 미지수와 단위를 먼저 적습니다. 가격인지 수량인지, 금액인지 비율인지, 현재시점인지 미래시점인지가 식의 의미를 결정합니다. 다음으로 경제조건을 말로 씁니다. 시장균형이면 ‘수요량=공급량’, 효율수량이면 ‘한계편익=한계비용’, 최대화이면 ‘1계조건과 2계조건’, 현재가치이면 ‘미래금액을 할인인자로 나눔’입니다. 그다음 수치를 대입하고 마지막에 원래 식과 경제적 범위로 검산합니다.

예를 들어 연립방정식의 해가 음의 가격이나 음의 수량이라면 대수 계산이 맞더라도 경제적으로 허용되는 범위인지 다시 봐야 합니다. 미분으로 찾은 값은 목적함수에 대입해 경계값과 비교하고, 적분으로 구한 잉여는 가능한 경우 삼각형·사다리꼴 면적으로 한 번 더 확인합니다. 백분율은 소수로 바꾸어 계산하되 답에서 요구하는 단위로 되돌립니다. 이 순서가 기출 계산에서 부호·분모·단위 실수를 줄이는 가장 확실한 방법입니다.