[2027 세무사1차시험 준비 – 재정학 – 제3장 공공선택 이론 – 02 과반수하에서의 정치적 균형]

정책이 한 차원이어야 모든 유권자가 공통된 왼쪽-오른쪽 순서에서 대안을 비교할 수 있습니다. 예를 들어 지방공공재 예산이 0억 원부터 100억 원까지라면 x=35는 예산 35억 원입니다. 유권자 i의 효용을 u_i(x)=-(x-x_i^*)²로 두면 이상점에서 거리가 0이어서 효용이 가장 높고, 멀어질수록 제곱거리만큼 낮아집니다.

이상점은 유권자가 실제 투표한 값이 아니라 가능한 대안 중 가장 좋아하는 값입니다. 두 대안 y와 z가 주어지면 이상점과의 거리를 비교하여 더 가까운 쪽을 선택하는 것이 기본 모형입니다.

단봉성의 핵심은 그래프 모양이 꼭 매끈한 포물선이어야 한다는 것이 아니라, 한 방향으로 봉우리에 접근할 때 선호가 좋아지고 지나친 뒤에는 나빠지는 순서입니다. u_i(x)=-|x-x_i^*|이나 제곱거리 효용 모두 단봉선호를 나타낼 수 있습니다.

다봉선호는 떨어진 두 구간을 좋아하고 중간을 싫어하는 것처럼 봉우리가 둘 이상인 선호입니다. 다봉선호가 있으면 ‘이상점의 중간 사람’이 모든 쌍대결을 이긴다는 논리가 깨지고 순환 가능성이 다시 생깁니다.

중앙값은 양쪽에 자신을 제외하고 같은 수의 유권자를 둡니다. 중위 이상점보다 작은 대안 y가 나오면 중위투표자와 오른쪽 유권자들이 y보다 중위 이상점 쪽을 선호합니다. 반대로 큰 대안 z가 나오면 중위투표자와 왼쪽 유권자들이 중위 이상점을 선호합니다. 이 양쪽 과반수 방어가 정치적 안정성의 원천입니다.

인구집단별 유권자 수가 다르면 각 집단의 이상점을 한 번씩만 세지 않고 가중치를 반영합니다. 이상점 순으로 누적 유권자 수를 계산하여 전체의 절반을 처음 넘어서는 위치가 가중중위점입니다.

가중치 문제에서는 집단의 수와 유권자의 수를 구별해야 합니다. 이상점이 세 종류라고 해서 가운데 두 번째 이상점을 곧바로 고르면 안 됩니다. 각 집단의 인원을 펼쳐 쓰면 20,20,40,40,40,40,40,70,70,70이 되고, 가운데 다섯 번째와 여섯 번째가 모두 40임을 확인할 수 있습니다. 누적방식은 이 목록을 짧게 계산하는 방법입니다.

이상점이 10, 20, 35, 50, 80이라고 합시다. y<35인 대안과 35를 비교하면 이상점이 35, 50, 80인 세 유권자는 단봉선호 때문에 35를 더 좋아합니다. 따라서 35가 3대2 이상으로 이깁니다. z>35인 대안과 비교하면 10, 20, 35의 세 유권자가 35를 더 좋아합니다. 어느 방향의 대안도 35를 이길 수 없으므로 35가 정치적 균형입니다.

핵심은 중위투표자 한 사람의 표가 독재적으로 결과를 정한다는 뜻이 아닙니다. 중위점의 양옆에서 서로 다른 과반수 연합이 만들어져 그 점을 방어한다는 뜻입니다.

증명에서 ‘왼쪽 대안이면 오른쪽 유권자 전부가 중위점을 지지한다’고 무조건 쓰면 부정확할 수 있습니다. 단봉성은 가까운 쪽을 선호하게 하지만 y의 위치에 따라 아주 오른쪽 유권자가 35와 y 중 어느 쪽을 택하는지는 명확하고, 최소한 중위점 이상에 이상점을 둔 유권자들은 y보다 35를 선호한다는 연속적 순서가 보장됩니다. 홀수 인원에서는 그 집단이 중위투표자를 포함해 과반수입니다. 오른쪽 대안에도 대칭 논리를 적용합니다. 이처럼 사람 수가 아니라 정렬된 위치와 단봉성으로 과반수를 증명합니다.

과반수결은 한 사람당 한 표를 세므로 선호 강도를 직접 합산하지 않습니다. 중위투표자의 이상점이 35라고 해도 소수 두 명이 35에서 매우 큰 손실을 본다면 총효용을 최대화하는 정책은 다른 값일 수 있습니다. 중위투표자정리는 다수결 안정성을 설명할 뿐 효율성 정리가 아닙니다.

또한 소득분포가 비대칭이거나 조세가격이 사람마다 다르면 ‘예산액의 거리’만으로 모든 편익과 부담을 표현하기 어렵습니다. 문제에서 총편익·총비용 자료를 따로 주면 정치적 균형을 찾은 뒤 사회적 최적을 별도로 계산합니다.

정책이 세율과 환경규제처럼 두 차원이면 어떤 유권자는 세율에서는 왼쪽, 규제에서는 오른쪽일 수 있어 하나의 공통 순서가 사라집니다. 다봉선호에서는 중앙 쪽으로 갈수록 항상 더 좋아진다는 보장이 없어 중위점 양쪽의 연합이 깨질 수 있습니다. 전략적 투표나 의제설정이 허용되면 표명된 선호와 진실한 선호가 달라질 수도 있습니다.

비교정태에서는 극단 유권자의 이상점이 더 극단으로 움직여도 순위가 바뀌지 않으면 중위 이상점은 그대로입니다. 반면 인구구성 변화로 중앙 순위가 35에서 50으로 옮겨가면 균형정책도 50으로 이동합니다. 원인 변수, 중앙 순위, 균형정책의 변화를 순서대로 설명해야 합니다.

문제에서 조건을 하나씩 바꾸어 물으면 결론보다 먼저 증명의 어느 고리가 끊겼는지 확인합니다. 1차원이 깨지면 공통 정렬이 없어지고, 단봉성이 깨지면 중위점과 같은 방향에 있는 유권자도 중간 정책을 싫어할 수 있습니다. 인원이 짝수이면 정확한 가운데 한 사람이 없어 동률이나 중위구간이 생깁니다. 이 차이를 설명해야 단순한 조건 암기를 넘어 변형 선지를 판별할 수 있습니다.